数据结构(七)-排序

1、排序

排序算法（英语：Sorting algorithm）是一种能将一串数据依照特定顺序进行排列的一种算法。

排序算法的稳定性

稳定性：稳定排序算法会让原本有相等键值的纪录维持相对次序。也就是如果一个排序算法是稳定的，当有两个相等键值的纪录R和S，且在原本的列表中R出现在S之前，在排序过的列表中R也将会是在S之前。

当相等的元素是无法分辨的，比如像是整数，稳定性并不是一个问题。然而，假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。

(4, 1)  (3, 1)  (3, 7)（5, 6）

在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是让相等键值的纪录维持相对的次序，而另外一个则没有：

(3, 1)  (3, 7)  (4, 1)  (5, 6)  （维持次序）
(3, 7)  (3, 1)  (4, 1)  (5, 6)  （次序被改变）

不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。不稳定排序算法可以被特别地实现为稳定。做这件事情的一个方式是人工扩充键值的比较，如此在其他方面相同键值的两个对象间之比较，（比如上面的比较中加入第二个标准：第二个键值的大小）就会被决定使用在原先数据次序中的条目，当作一个同分决赛。然而，要记住这种次序通常牵涉到额外的空间负担。

排序方法分为：内部排序，外部排序;

简单的排序方法O(n2),先进的排序方法O(nlogn),基数排序O(dn);插入排序，交换排序，选择排序，归并排序，计数排序。
排序方法的稳定性:取决于该方法采取的策略，不是由一次具体的排序结果决定的。

2、直接插入排序 （ 插入排序 ）

将待排序记录插入已排好的记录中，不断扩大有序序列，笼统点，一句话，“将待排序记录插入有序序列，重复n-1 次”

例: 52，49，80, 36，14，58，61进行直接插入排序。

1. 最优时间复杂度：O(n) （升序排列，序列已经处于升序状态）
2. 最坏时间复杂度：O(n²)
3. 稳定性：稳定

3、折半插入排序 （ 插入排序 ）

在直接插入排序中，查找插入位置时采用折半查找的方法。

时间复杂度O( n² )。比直接插入排序减少了比较次数。折半插入排序是稳定的排序算法。

4、希尔（shell）排序（ 插入排序 ）

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。该方法因DL．Shell于1959年提出而得名。 希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。

先将待排序列分割成若干个子序列，分别进行直接插入排序，基本有序后再对整个
序列进行直接插入排序。
步骤:

1、分成子序列(按照增量dk);
2、对子序列排序(直接插入排序);
3、缩小增量，重复以上步骤，直到增量dk=1. .
增量序列中最后一个增量一定是1，如: ..9，5，3，2， 1和…13，4， 1。如没有明确说明增量序列可以选择...3,2,1或...5,3,2, 1。

例:希尔排序(52，49，80, 36，14， 58，61)。

希尔排序是不稳定的。时间复杂度大约为O( n^3/2 )。

直接插入排序、折半插入排序、shell排序均是插入排序。

5、冒泡排序 （交换排序）

冒泡排序（英语：Bubble Sort）是一种简单的排序算法。它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

冒泡排序算法的运作如下：

1. 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大（升序），就交换他们两个。
2. 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。
3. 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
4. 持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。

交换过程图示(第一次)：

那么我们需要进行n-1次冒泡过程，每次对应的比较次数如下图所示：

时间复杂度

1. 最优时间复杂度：O(n) （表示遍历一次发现没有任何可以交换的元素，排序结束。）
2. 最坏时间复杂度：O(n²)
3. 稳定性：稳定

冒泡排序的演示

效果：

6、快速排序（交换排序）

快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

步骤为：

1. 从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot）。
2. 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
3. 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

时间复杂度

1. 最优时间复杂度：O(nlogn)
2. 最坏时间复杂度：O(n²)
3. 稳定性：不稳定

从一开始快速排序平均需要花费O(nlog n)时间的描述并不明显。但是不难观察到的是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，使用O(n)的时间。在使用结合（concatenation）的版本中，这项运算也是O(n)。

在最好的情况，每次我们运行一次分区，我们会把一个数列分为两个几近相等的片段。这个意思就是每次递归调用处理一半大小的数列。因此，在到达大小为一的数列前，我们只要作log n次嵌套的调用。这个意思就是调用树的深度是O(log n)。但是在同一层次结构的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部分；因此，程序调用的每一层次结构总共全部仅需要O(n)的时间（每个调用有某些共同的额外耗费，但是因为在每一层次结构仅仅只有O(n)个调用，这些被归纳在O(n)系数中）。结果是这个算法仅需使用O(n log n)时间。

冒泡排序、快排均是交换排序

7、简单选择排序 （ 选择排序 ）

选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理如下。首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。

选择排序的主要优点与数据移动有关。如果某个元素位于正确的最终位置上，则它不会被移动。选择排序每次交换一对元素，它们当中至少有一个将被移到其最终位置上，因此对n个元素的表进行排序总共进行至多n-1次交换。在所有的完全依靠交换去移动元素的排序方法中，选择排序属于非常好的一种。

选择排序分析

红色表示当前最小值，黄色表示已排序序列，蓝色表示当前位置。

时间复杂度

• 最优时间复杂度：O(n²)
• 最坏时间复杂度：O(n²)
• 稳定性：不稳定（考虑升序每次选择最大的情况）

8、堆排序（选择排序）

判断序列是否构成堆

方法:用Ki作为编号为i的结点，画一棵完全二叉树，比较双亲和孩子容易判断是否构成堆。

建立堆

排序

9、归并排序

归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。

将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。

时间复杂度

1. 最优时间复杂度：O(nlogn)
2. 最坏时间复杂度：O(nlogn)
3. 稳定性：稳定

例:对{24, 85, 47, 53, 30, 91}归并排序。

10、常见排序算法效率比较