数据结构(五)-二叉树 - jerry

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数据结构(五)-二叉树

1、二叉的基本概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)

2、二叉树的性质(特性)

  • 性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>0)
  • 性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点(k>0)
  • 性质3: 对于任意一棵二叉树,如果其叶结点数为N0,而度数为2的结点总数为N2,则N0=N2+1;即度为0的节点比度为2 的节点多1个。
  • 性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
  • 性质5:对完全二叉树,若从上至下、从左至右编号,则编号为i 的结点,其左孩子编号必为2i,其右孩子编号必为2i+1;其双亲的编号必为i/2(i=1 时为根,除外)

3、完全二叉树和满二叉树

对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

满二叉树:除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。

4、二叉树的遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访问,即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次,我们把这种对所有节点的访问称为遍历(traversal)。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历(DFS)和广度优先遍历(BFS),深度优先一般用递归,广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。

深度优先遍历

对于一颗二叉树,深度优先搜索(Depth First Search)是沿着树的深度遍历树的节点,尽可能深的搜索树的分支。

那么深度遍历有重要的三种方法。这三种方式常被用于访问树的节点,它们之间的不同在于访问每个节点的次序不同。这三种遍历分别叫做先序遍历(preorder),中序遍历(inorder)和后序遍历(postorder)。

  1. 先序遍历 在先序遍历中,我们先访问根节点,然后递归使用先序遍历访问左子树,再递归使用先序遍历访问右子树
    根节点->左子树->右子树
  2. 中序遍历 在中序遍历中,我们递归使用中序遍历访问左子树,然后访问根节点,最后再递归使用中序遍历访问右子树
    左子树->根节点->右子树
  3. 后序遍历 在后序遍历中,我们先递归使用后序遍历访问左子树和右子树,最后访问根节点
    左子树->右子树->根节点

广度优先遍历(层次遍历)

从树的root开始,从上到下从从左到右遍历整个树的节点

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